安徽省”皖南八校“2025届全国新高三开学联考数学试题试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知为非零向量，“”为“”的（）
A．充分不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知为圆的一条直径，点的坐标满足不等式组则的取值范围为（）
A． B．
C． D．
3．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间110,120内；
③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；
④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．
其中正确的个数为（）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．正项等比数列中，，且与的等差中项为4，则的公比是()
A．1 B．2 C． D．
5．设a=log73，，c=30.7，则a，b，c的大小关系是（）
A． B． C． D．
6．在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（）
A． B． C． D．
7．已知幂函数的图象过点，且，，，则，，的大小关系为（）
A． B． C． D．
8．数列满足：，，，为其前n项和，则（）
A．0 B．1 C．3 D．4
9．已知数列满足：)若正整数使得成立，则（）
A．16 B．17 C．18 D．19
10．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）
A．134 B．67 C．182 D．108
11．如图，四面体中，面和面都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为（）
A． B． C． D．
12．下列不等式正确的是（）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，且，则实数的值是__________．
14．已知全集，集合，则______.
15．已知向量满足，且，则_________．
16．若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为1的正方体中，记平面为，平面为，点是线段上一动点，.给出下列四个结论：
①为的重心；
②；
③当时，平面；
④当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为.
其中，所有正确结论的序号是________________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知点P在抛物线上，且点P的横坐标为2，以P为圆心，为半径的圆（O为原点），与抛物线C的准线交于M，N两点，且．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若抛物线的准线与y轴的交点为H．过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A，B，且，求的值．
18．（12分）在中，．
（1）求的值；
（2）点为边上的动点（不与点重合），设，求的取值范围．
19．（12分）设抛物线的焦点为，准线为，为过焦点且垂直于轴的抛物线的弦，已知以为直径的圆经过点.
（1）求的值及该圆的方程；
（2）设为上任意一点，过点作的切线，切点为，证明：.
20．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于、两点，求的面积.
21．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，.
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
22．（10分）已知函数
（1）已知直线：，：.若直线与关于对称，又函数在处的切线与垂直，求实数的值；
（2）若函数，则当，时，求证：
①；
②.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
由数量积的定义可得,为实数
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